Ho letto che anche dopo 500 volte di seguito che lanciando una moneta ottengo sempre testa (o sempre croce), le probabilità che esca testa oppure croce sono ancora pari, 50%.
Ora vorrei sapere: questa è un'affermazione teorica o è stata dimostrata ottenendo realmente una stringa di 500 uscite uguali. E' realmente possibile che mi esca testa 500 volte di seguito?
Nel film "Rosencrantz e Guildenstern sono morti" si rendono conto di essere morti perchè gli esce croce 156 volte di seguito... e già mi sembravano tante.
Qualche esperto matematico mi può aiutare a capire. grazie.
Tag matematica, legge probabilità, rosso e nero.
Il dibattito continua su http://www.jacopofo.com/matematica_gioco_azzardo
e su http://www.jacopofo.com/legge_probabilità_quantistica_caso
Commenti
basta con le monete passiamo ai dadi
se non sbaglio la procedura è la seguente: poichè la probabilità che esca testa è 1/2 (50%) e poichè i lanci sono eventi indipendenti (il lancio precedente non influisce sul lancio successivo) la probabilità è 1/2*1/2*1/2 tante volte quanti sono i lanci. In questo caso con 500 lanci bisogna moltiplicare 1/2 500 volte, ovvero 1/2 elevato alla 500. la probabilità di fare testa 10 volte è quindi (1/2)^10 ovvero una su 1024. farla uscire 20 volte di fila circa 1 su 1.000.000. per farla uscire 500 volte è circa 1 su 1000....00 con 150 zeri. un numero impronunciabile. considerando che la probabilità di fare 6 al superenalotto è poco meno di 1 su 600.000.000 corrisponde a ottenere 30 volte testa di fila per fare testa 500 volte di fila serve un culo grosso come la galassia. o forse un pò di più. spero di essermi riuscito a spiegare
A parte le considerazioni
A parte le considerazioni matematiche il film non era: "Rosencrantz e Guildenstern sono morti" ?
giuseppe t.
Esattamente!
Esattamente!
Quello che hai enunciato è
Quello che hai enunciato è un postulato, cioè una affermazione non dimostrata che costituisce l'impalcatura (insieme ad altri postulati ovviamente) della definizione del calcolo delle probabilità.
La matematica NON è la realtà, è solo uno strumento per definire un universo congruente al suo interno, nel quale cioè sono validi determinati teoremi avendo accettato come veri i suoi postulati fondamentali.
Naturalmente questo non significa che il calcolo delle probabilità non sia un valido strumento per cercare di definire e interpretare la realtà in modo abbastanza semplice e formale da poter essere compresa dal cervello umano.
Diciamo che l'analisi di tutta una serie di eventi reali non è contraria a quanto può essere previsto tramite il calcolo delle probabilità.
L'evento che tu ipotizzi è talmente improbabile da essere quasi impossibile, ma, questo dice il calcolo delle probabilità, se dovesse succedere, l'evento successivo NON può essere influenzato da quelli precedenti.
Nella realtà le cose sono molto diverse, se io vedessi uscire per 500 volte di seguito testa ti direi che la prossima volta quasi sicuramente uscirà di nuovo testa, perchè se un evento talmente improbabile si verifica è perchè non è valido un altro postulato, cioè che i due eventi (testa o croce) NON hanno la stessa probabilità di uscire, postulato che DEVE essere vero, altrimenti non ha senso utilizzare il calcolo delle probabilità !
Max.
mica ho capito
qual è il postulato? in realtà dire che la probabilità che esca testa o croce è del 50% non è un postulato ma è un dato del problema. quella che ho applicato inoltre è una delle definizioni del concetto di probabilità che in quanto definizione non è un postulato è solo un nome. per quanto riguarda l'indipendenza degli eventi non è nemmeno questo un postulato infatti affinchè siano dipendenti ci deve essere una correlazione, e nel caso (classico) del lancio di una moneta questa correlazione non c'è. questa è una conseguenza (l'indipendenza) non una causa. Nella realtà le cose sono diverse? non è vero nemmeno questo. forse confondi la realtà con il senso comune(intuito). La "realtà", o meglio i fenomeni osservabili, sicuramente molto spesso coincidono con quello che l'esperienza e l'intuito ci portano a pensare ma solo su eventi paragonabili alla dimensione umana. su scale diverse, ad esempio nel molto piccolo (vedi meccanica quantistica) o nel molto veloce (vedi relatività) la natura è piena zeppa di fenomeni anti-intuitivi e tuttavia reali (distorsioni spaziali, temporali, tunneling,....). infine fare 500 di fila testa non è quasi impossibile, la frase completa è: è quasi impossibile con pochi tentativi. in realtà con un numero enorme di tentativi questo diventa al contrario molto probabile ed infine quasi certo (vedi termodinamica statistica). se poi io osservassi con i miei occhi (scala umana) uscire testa 500 ma anche 30 volte direi che è una moneta con due teste. spero di essere stato esaudiente. ho concluso
Invece è proprio un postulato
Se non è un postulato, chi l'ha detto che la probabilità che esca testa o croce è del 50%?
Chi l'ha detto che la moneta non è "truccata" o almeno un po' sbilanciata?
Quella è l'ipotesi ideale; per verificare se è vera bisogna fare un esperimento.
Ma un esperimento reale non può dare una certezza ma ha solo una certa probabilità (magari molto alta) di essere valido.
In pratica tutto quello che si può dire alla fine è che, con probabilità tot, la probabilità che esca testa o croce è di tot +/-tot.
O stiamo parlando di un esperimento ideale in un mondo ideale?
Allora che la probabilità che esca testa o croce sia del 50% è appunto un postulato.
uff
ripeto non è un postulato è un dato del problema. nel dire lancio una moneta tot volte si sottointende una moneta con due facce diverse non truccata. non è un postulato è un dato. dire qual è la probabilità che una moneta sia truccata avendo fatto tot lanci e avendo ottenuto tot teste e tot croci è un altro problema diverso con un altra soluzione. c'è un grossa differenza fra un dato assunto e un postulato. speculazioni del tipo chi l'ha detto che esce la prob è del 50% oppure cose simili è uscire fuori dal problema. sarebbe come dire e se passa un gazza e si frega la moneta? oppure quella monetina non c'ha testa e croce perchè è islandese quindi non uscirà mai? insomma non serve.
Mmmmmm.....moneta....
Secondo me la moneta è truccata....e c'è un buon 50% di probabilità che chi la lancia in aria 500 volte di fila è matematicamente pazzo.....
Valà....meglio darla in beneficenza o spenderla per una birra!!!
vada per la birra. offro io
vada per la birra. offro io
niente è impossibile
una moneta non sa di essere stata lanciata, mentre noi sappiamo di averlo fatto. la matematica è uno strumento razionale che tenta di mediare tra l'universo e il cervello, è quello che gli stoici chiamavano logos. quando ci chiediamo qual è la probabilità che esca tesca o croce possiamo rispondere soltanto che è 1 su 2, poichè per noi una moneta ha due facce, ma gli stati della moneta sono infiniti, noi ne cogliamo solo due perché la prendiamo con la mano, la vediamo come un oggetto strumentale, e vogliamo che escano testa o croce. Se fosse possibile "vedere" e/o "lanciare" la moneta, diciamo in un esperimento fuori dal tempo, dalle influenze umane e via discorrendo, le 500 possibilità sono una bazzecola. In un lancio in aria la moneta potrebbe fermarsi sul contorno, e le nostre amene scommesse andarsene a farsi friggere; oppure una moneta immobile su un tavolo potrebbe essere considerata lanciata, visto che la terra, il sistema solare e la galassia (e chissà cos'altro) sono in movimento. Inoltre non dimentichiamo che ogni lancio è una parentesi irriducibile, ovvero un insieme di fattori singolari non ricostruibili, quindi è l'ambiente a influenzare ogni lancio. Per rispondere alle tue domande: si, se dovessi avere 500 volte di seguito una delle due facce, la probabilità (non la possibilità) di avere l'altra rimarrà sempre e comunque 1/2. La matematica cerca un modo di "contare" ciò che è così intensamente distribuito senza un'apparente logica, ma chi studia la matematica con disinteresse e per il solo piacere di cogliere il meccanismo dell'universo, deve arrendersi davanti al fatto che il cervello umano riesce a interpretarne alcuni movimenti, deterministici o indeterministici, tuttavia grazie a questa disciplina si possono prevedere degli eventi, ma il calcolo delle probabilità ci dice proprio questo: qual è la probabilità, non quale sarà l'evento.
a.t.
testa o croce
Ciao Iacopo,
non sono una matematica ma una fisica e ora provo a raccontarti la storia della monetina smemorata. E sì, la monetina soffre di una strana malattia che le fa perdere la memoria e breve termine. Hai presente quelle persone che non ricordano quello che è successo un istante prima? Mi sembra abbiano girato anche dei film in merito, ebbene, la monetina quando la lanci dimentica subito se si è seduta su testa o su croce. Ogni volta può uscire testa o croce al 50%, per la monetina non fa molta differenza e si affida alla sorte dettata dal lanciatore, dal vento, dal tavolo, da quante volte l'aria la fa girare prima di cadere, e anche se la lanci 500 volte e per 500 volte la sorte ha deciso di far uscire testa, alla volta successiva la monetina non se ne ricorda. Insomma, per farla breve e seriosa, ogni lancio è un evento indipendente dai lanci precedenti e la probabilità che esca testa o croce è il 50%. Povera monetina smemorata.....
Claudia
Cambiamo punto di vista
Certo, dopo 500 lanci la probabilità che esca testa è del 50%. Trattandosi di un ragionamento limitato ad un unico evento non può che essere così; a parte la rara possibilità di vederla rotolare e fermarsi su di un fianco!
Ma al matematico che si fermasse a parlare di quella probabilità gli farei notare la miopia dello stesso ragionamento. Infatti, se lancio una moneta 500 milioni di volte (o miliardi!), la statistica insegna che il risultato sarà 250 milioni di teste e altri 250 milioni di croci. Dunque (a mio avviso), sempre per la statistica, non esiste l'ipotesi valutata, e quindi neanche questo luogo comune!
P.s.
Il film dovrebbe essere proprio "Rosencrantz e Guildenstern sono morti"!
falso :-))
Anzi falsissimo !
Se la moneta è perfettamente bilanciata, ripeto bilanciata, il 50% dovrebbe avvenire dopo 10 soli lanci con una probabilità che questo accada (il 50%) del 99%.
Infatti esiste sempre l'eccezione che conferma la regola !
Abbiamo solo un alta probabilità del 50% se ripetuta più volte, più ripetuta più la probabilità dovrebbe ridurre la mancanza di bilanciamento della moneta (si consuma), qualcuno pensa fin eliminarla, ma in realtà NON si AZZERA MAI del TUTTO.
Sapere è Potere !
monete e probabilità
caro jacopo, poichè è nota la tua avverisone alla matematica, ti tranquillizzo dicendoti che non è una questione di matematica, bensì di logica:
perchè non dovrebbe essere possibile che esca 500 volte la setssa faccia di una medaglia? perchè il caso dovrebbe fare delle preferenze sulle combinazioni possibli? bisogna considerare che il caso non capisce se la faccia che noi stiamo guardando è quella che noi denominiamo testa o quella che noi denominiamo croce! è proprio il caso di dirlo: il Caso è cieco! è per questo che si dice che la fortuna è cieca, perchè in realtà la fortuna e il caso sono le sue facce della stessa medaglia! ;-)
ognuna delle combinazioni possibili per 500 lanci di una moneta è ugualmente probabile, siamo noi che diamo un valore al fatto che esca 500 volte, o 497 o zero una stessa faccia ...diaciamo pure che è un problema nostro! e non del caso... :-)
convinto?
verena penna
per essere più chiaro
per completezza di ragionamento aggiungo, visto che non sono stato sufficientemente preciso in precedenza, che la possibilità che esca 500volte di fila testa non è diversa dalla prob che esca una qualunque sequenza decisa a priori. ovvero in questo caso è stata applicata la seguente definizione di prob. P=(risultati utili)/(risultati possibili). ovvero nel caso di un lancio testa si dice " esce il 50% delle volte" perchè c'è un risultato utile (testa) su due possibili (testa o croce). su 500 lanci i risultati possibili sono quel numero enorme che ho scritto un pò più giu. si ha la stessa possibilità di indovinare una qualunque sequenza (ordinata). fare 500 volte di fila testa non è più difficile che indovinare una qualunque sequenza (ordinata) anzi è proprio uguale. il discorso cambia se voglio dire uscirà tot volte testa e tot croce in qualunque ordine. allora se nella mia sequenza ci sono tutte teste oppure una certo numero di teste e di croci la prob. cambia. in particolare sarà più facile che escano sequenze miste rispetto a sequenze meno miste. dunque la stringa più probabile sarà proprio quella con uno stesso numero di teste e di croci (sempre non ordinate). quello che può creare un pò di confusione (a livello intuitivo) è appunto la differenza tra stringa ordinata e non ordinata. ma la prob di indovinare l'esatta sequenza ordinata (TTCTCCCTCT...) è la stessa a prescindere dalla sequenza scelta
mah...
Premetto che le mie conoscenze risalgono a un po' di tempo fa, quando facevo il liceo.
La mia memoria mi dice che effettivamente la probabilità che esca una squenza precisa (mettiamo su 500 lanci 349 volte testa e 151 volte croce) è identica alla probabilità che esca 500 volte testa.
Però se facciamo molti, ma molti lanci, se non sbaglio, interviene la legge dei grandi numeri (che se ricordo bene dice che più lanci faccio più la somma dei lanci si avvicina alla probabilità calcolata di quell'avvenimento).
Mi spiego: mettiamo che io faccia 10.000 lanci.
E' MOOOOOLTO più probabile che al termine io ottenga un valore vicinissimo a 5000 volte testa e 5000 volte croce (cioè il 50 % delle probabilità all'evento "risultato testa" e 50% all'evento "risultato croce") piuttosto che io ottenga 10.000 volte croce.
Questo credo sia la base della statistica su un evento che si ripete moltissime volte.
Se volessi sapere quante volte è più probabile che esca 6 lanciando "n" volte un dado (e ammettendo "n" come numero elevatissimo) la probabilità si avvicina a 1/6 più "n" è grande.
Per quanto riguarda dove puoi averla vista:
Di certo l'idea è presta dall'opera surreale "rosencratz e guilderstern sono morti" di Tom Stoppard del 1964 o dal film omonimo sempre diretto da Stoppard che risale al 1990...
Il fatto che esca sempre testa al lancio di una moneta fa capire ai protagonisti che "qualcosa non va" proprio perchè nella vita "reale" e non "surreale" più si lancia una moneta e più i risultati reali dei lanci dovrebbero avvicinarsi alla probabilità teorica di quell'evento (cioè 50% testa e 50% croce)
Per quanto mi riguarda credo che la moneta sappia che tu la stai lanciando e che si diverta, a volte, a prenderti in giro....
Daltronde se io sapessi che qualcuno sta facendo un esperimento su come mi comporto, farei di tutto per non confermare l'ipotesi che sta sperimentando...ma forse sono io che sono un po' stronzo.
Un abbraccio a tutti!
ogni volta che si rilancia
ogni volta che si rilancia la moneta la probabilità che esca una faccia o l'altra riparte sempre da capo,quindi ogni volta che la si lancia ,anche alla 501esima volta è sempre uguale, 50 e 50. Poi il fatto che sia sempre uscita la stessa faccia oppure no al "caso" non interessa,non lo sa,siamo noi che disinguiamo le due facce.
Quindi se la probabiltà è sempre 50 e 50 si può ipotizzare che esce sempre per 500 volte di seguito la stessa faccia.
Teoria dei grandi numeri
Ho fatto all'universita' un esame di statistica e l'unico ricordo che ho e' proprio la risposta a questa domanda.
In effetti qui ci sono 2 eventi diversi :
- il lancio della monetina : ha sempre il 50% ed slegato dalla storia (non ha memoria). L'unica previsione sul prossimo lancio e' 50% testa, 50% croce
- un lancio di 500 monete (o 500 volte una moneta) : qui la teoria dei grandi numeri dice che al tendere all'infinito dei lanci la distribuzione delle test vs croci e' 50% - 50%. Quindi non dice nulla sul singolo evento ma dice solo che se lanci tante volte la moneta e' molto probabile che meta' delle volte venga testa. Qui si possono calcolare le probabilita' dei risultati:
Gia' qui si vede come l'evento croci e teste dictribuite a meta' diventa sempre piu' probabile rispetto agli altri, mentre l'evento solo teste (o croci) diventa sempre meno probabile (25% per 2 lanci, 12,5% con 3 lanci, 6,25% con 4 lanci),
Se non sbaglio con 50 lanci la probabilita' che vengano solo teste e' di circa 1 su un milione di miliardi. Quindi su 500 ci si avvicina a una probabilita sul nostro debito pubblico...
Spero aiuti,
Ciao,
Federico
Si si, non avevo
Si si, non avevo specificato, perdonatemi.
E' vero, la probabilità che esca testa o croce anche dopo 500 lanci è sempre al 50%, ma è altamente imbrobabile che si verifichino 500 lanci testa o 500 lanci tutti croce.
La risposta alla domanda di jacopo è perciò: si ha sempre la stessa probabilità, mentre è quasi impossibile (matematicamente) che escano 500 lanci tutti uguali.
probabilità
la probabilità che lanciando una moneta questa venga testa (o croce) è del 50%. scrivendo questa probabilità con un valore da0 a 1 (dove 0 rappresenta 0% di probabilità che un evento si verifichi e 1 rappresenta la probabilità 100% ovvero la certezza matematica) si può dire che la probabilità che esca testa (o croce) in seguito ad un lancio è 0,5.
Se ora lancio di nuovo la moneta, siccome la moneta non ha memoria (in quanto non gliene frega niente di essere stata lanciata una o un milione di volte) avrò di nuovo una probabilità del 50% che esca testa (o croce).
Interessante è calcolare la probabilità che in due lanci consecutivi esca sempre testa (o croce). Questa probabilità è data dal prodotto delle singole probabilità, ovvero 0,5 X 0,5 = 0,25. In termini percentuali corrisponde al 25% ovvero prendendo come riferimento non il singolo lancio ma una coppia di lanci consecutivi, posso prevedere che l’evento “due lanci consecutivi con risultato testa” capiterà circa una volta ogni 4 volte.
Da notare che io sto considerando un evento diverso da quello descritto precedentemente. Mentre prima ho considerato l’evento “lancio singolo” ripetuto due volte, ora considero l’evento “due lanci consecutivi”. Se nel primo caso potevo dire che ad ogni lancio singolo la probabilità che esca testa (o croce) è 50% sempre, nel secondo caso posso dire che ad ogni coppia di lanci la probabilità che entrambi i lanci siano testa (o croce) è del 25%.
Se eseguo tre lanci la probabilità che esca sempre testa (o croce) sarà il prodotto delle tre singole probabilità relative ai tre singoli lanci, ovvero 0,5 X 0,5 X 0,5 = 0,125 e così via fino a considerare l’evento “500 lanci consecutivi con risultato testa” per il quale il valore di probabilità è numero che si può scrivere come
1/ 2500
Ho provato a calcolarlo con il mio PC e il rispultato è 1,52 X 10-151
cioè 0,000… per 151 volte e al fondo 152. Cioè praticamente 0.
Sembra che la probabilità che si verifichi l’evento “500 lanci consecutivi con risultato testa” non possa mai avvenire, ma attenzione! Prima di trarre delle conclusioni è necessario rendersi conto che sono stato io a scegliere l’evento. Per me una sfilza consecutiva di lanci con risultato testa ha un significato, per la moneta no! Per intenderci, qualsiasi sequenza di 500 lanci ha la stessa probabilità che si verifichi, anche la sequenza “testa, croce, testa, croce, testa, croce, ecc.” per la quale escono 250 volte testa e 250 volte croce, ossia il 50% dei singoli eventi è testa e il 50% croce.
Perché questo?
Semplicemente perché la probabilità di un evento, se assolutamente legato al caso (ovvero la moneta non è truccata), dipende dal numero di possibili risultati che questo evento può avere. Nel caso dell’evento “un singolo lancio” , la moneta può risultare testa oppure croce. Sono due risultati e quindi ciascuno avrà il 50% di probabilità di verificarsi. Nel caso dell’evento “due lanci consecutivi” ci sono quattro possibili risultati, ossia
Primo lancio
secondo lancio
Testa
Testa
Testa
Croce
Croce
Testa
Croce
Croce
Nel caso dell’evento “500 lanci consecutivi” ci saranno circa 10151 (per l’esattezza 2500) possibili combinazioni, per cui ciascun risultato avrà 1/ 1,52 X 10151 (per l’esattezza 1/2500) probabilità di verificarsi.
Eppure uno di questi eventi si verifica di sicuro! La cosa difficile è indovinare quale di questi.
Supponiamo ora di avere ottenuto la sequenza di 500 lanci tutti testa. Tiro ancora una volta la moneta. Qual è la probabilità che esca testa?
Istintivamente si è portati a pensare: ho già avuto una incredibile fortuna nel veder uscire la sequenza “500 volte testa” quindi non posso pretendere che esca un’altra volta ancora testa!
In effetti la probabilità che esca ancora una volta testa rimane sempre del 50%.
Perché la moneta continua a non avere memoria.
Anche dal punto di vista matematico è così. Infatti la probabilità che si sia verificata la sequenza “500 lanci tutti testa” (occhio ai tempi dei verbi) è esattamente1, in quanto si è già verficata!
La probabilità che esca testa dopo un lancio (come abbiamo visto) è 0,5 e la probabilità che si verifichi l’evento congiunto sarà quindi 1 X 0,5 = 0,5.
Con buona pace di chi prevede con metodi matematici (!!!) i numeri al lotto.
Sperando di essere stato chiaro ed esaustivo, sempre disponibile per ulteriori chiarimenti, vi porgo i miei saluti.
Luca Smeriglio
(ingegnere, orgogliosamente corniciaio in Torino)